Технологический лицей г.Сыктывкар

3.1. Формы мышления

        Логика — наука,  изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств.

        Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления. Основными формами абстрактного мышления являются  понятия, суждения и умозаключения.

        Понятие — форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Понятия в языке выражаются словами.

        Содержание понятия — совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии.

        Объем понятия — множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия. Выделяют понятия общие и единичные.

        Выделяют следующие отношения понятий по объему:

·         тождество или совпадение объемов. означающее, что объем одного понятия равен объему другого понятия;

·         подчинение или включение объемов: объем одного из понятий полностью включен в объем другого;

·         исключение объемов — случай, в котором нет ни одного признака, который бы находился в двух объемах;

·         пересечение или частичное совпадение объемов;

·         соподчинение объемов — случай, когда объемы двух понятий, исключающие друг друга, входят в объем третьего.

         Суждение — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях.

        Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение.

 Задания для самостоятельного выполнения

3.1. Какие известные вам понятия определяются следующими предложениями:

1)      группа слов, которая выражает законченную мысль;

2)      значимая часть слова, которая стоит после корня и служит для образования новых слов;

3)      часть речи, которая указывает на предметы, признаки и количества, но не называет их;

4)      расстояние, преодолеваемое за единицу времени;

5)      часть прямой, ограниченная с двух сторон;

6)      многоугольник с наименьшим числом сторон;

7)      фигура, боковые грани которой — треугольники, а основание — многоугольник;

8)      два числа, произведение которых равно 1;

9)      последовательность команд, которую выполняет компьютер в процессе обработки данных;

10)   система хранения файлов и организации каталогов.

3.2. Приведите примеры понятий из повседневной жизни, а также из курсов математики, русского языка, истории, географии и информатики.

3.3. Перечислите существенные признаки, составляющие содержание следующих понятий. Каковы их объемы?

1)    алфавит;

2)    дистрибутив;

3)    дюйм;

4)    кибернетика;

5)    палитра;

6)    мультимедиа;

7)    компьютер.

3.4. По аналогии с приведенными в таблице примерами для каждого типа отношений между понятиями придумайте 2-3 собственных примера.

3.5. Если некоторое событие обязательно имеет место при определенном условии, то это условие  является достаточным. Если некоторое событие не может иметь место без определенного условия, то это условие является необходимым. Если без определенного условия не может быть некоторого события, а из наличия этого условия следует данное событие, то условие является необходимым и достаточным. Иногда из двух слов “необходимо” и “достаточно” подходит только одно, а другое не подходит. Но нередко они могут подходить оба.

 В следующих суждениях  вместо многоточия поставьте подходящие по смыслу слова  “необходимо”, “достаточно”, “необходимо и достаточно”. Помните, что получившиеся высказывания должны быть истинными.

1)      Для того чтобы число делилось на 4, …, чтобы оно было четным.

2)      Чтобы число делилось на 3, …, чтобы оно делилось на 9.

3)      Для того чтобы число делилось на 10, …, чтобы оно оканчивалось 0.

4)      Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, …, чтобы каждое из них равнялось нулю.

5)      Чтобы произведение двух чисел равнялось нулю, …, чтобы хоть одно из них равнялось нулю.

6)      Чтобы умножить сумму нескольких чисел на какое-нибудь число, …, каждое слагаемое умножить на это число и произведения сложить.

7)      Чтобы произведение нескольких чисел разделить на какое-нибудь число …, разделить на это число только один из сомножителей, и полученное частное умножить на остальные сомножители.

8)      Для того чтобы сумма двух чисел была числом четным, …, чтобы каждое из слагаемых было четным числом.

9)      Для того чтобы число делилось на 10, …, чтобы оно делилось на 5.

10)   Для того чтобы число делилось на 6, …, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

11)   Для того чтобы число делилось на 12, …, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

12)   Для того чтобы число делилось на 30, …, чтобы оно делилось на 3 и на 10.

13)   Для того чтобы число делилось на 5, …, чтобы оно делилось на 15.

14)   Чтобы четырехугольник был квадратом, …, чтобы все его стороны были равны.

15)   Чтобы прямоугольник был квадратом, …, чтобы все его стороны были равны.

16)   Чтобы периметр квадрата был равен 20 см, …, чтобы его сторона была рана 5 см.

17)   Чтобы площадь прямоугольника была равна 20 см², …, чтобы его стороны были равны 4см и 5см.

 

3.2. Алгебра высказываний

        Алгебра в широком смысле этого слова  наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими объектами.

        Примеры алгебр: алгебра натуральных чисел, алгебра рациональных чисел, алгебра многочленов, алгебра векторов, алгебра матриц, алгебра множеств и т.д. Объектами алгебры логики или булевой алгебры являются высказывания.

        Высказывание — это любое предложение какого-либо языка (утверждение), содержание которого можно определить как истинное или ложное.

        Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может.

        В естественном языке высказывания  выражаются  повествовательными предложениями.                Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

        Высказывания могут выражаться с помощью математических,  физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства.

        Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.

        Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).

        Простые высказывания  в алгебре логики обозначаются  заглавными  латинскими буквами:

А = {Аристотель - основоположник логики}

В = {На яблонях растут бананы}.

        Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры  логики.  Например,  истинность  или  ложность  высказывания: "Сумма углов треугольника равна 180 градусов" устанавливается геометрией, причем — в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

        Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

        Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний.  Ее интересует только один факт — истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Задания для самостоятельного выполнения

3.6. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями:

1)      Какого цвета этот дом?

2)      Число Х не превосходит единицы.

3)      4Х+3

4)      Посмотрите в окно.

5)      Пейте томатный сок!

6)      Вы были в театре?

7)      Сумма числа 5 и Х равна 10.

3.7. Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями?

1) Город Париж — столица Франции.

2) Число 2 является делителем числа 7.

3) 3 + 5 = 2 ´ 4.

4) 2 + 6 > 10.

5) Сканер — это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера.

6) II + VI > VIII.

7) Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8.

8) Мышка —  устройство ввода информации.

3.8. Приведите по два примера истинных и ложных высказываний из:

1)      биологии;

2)      географии;

3)      информатики;

4)      истории;

5)      литературы;

6)      математики;

7)      русского языка.

3.3. Основные операции алгебры высказываний

        Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (лат. conjunctio — связываю):

·                                 в естественном языке соответствует союзу и;

·                                 обозначение:  &;

·                                 в языках программирования обозначение: and;

·                                 иное название: логическое умножение.

        Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

 

        Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (лат. disjunctio — различаю):

·                              в естественном языке соответствует союзу или;

·                                 обозначение: Ú ;

·                                 в языках программирования обозначение: or;

·                                 иное название: логическое сложение.

          Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны  и  истинным,  когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

         Логическая операция ИНВЕРСИЯ (лат. inversio — переворачиваю):

·                                 в естественном языке соответствует словам "Неверно, что... " и частице не;

·                                 обозначение: ;

·                                 в языках программирования обозначение: not;

·                                 иное название: отрицание.

        Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие  составное  высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

         Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (лат. implicatio — тесно связываю):

·                                 в естественном языке соответствует обороту  Если ..., то ...;

·                              обозначение:  Þ , ® ;

·                                 иное название: логическое следование.

        Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

         Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (лат. аequivalens — равноценное):

·                                 в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда и в том и только в том случае;

·                                 обозначение: Û , ~ ;

·                                 иное название: равнозначность.

        Эквиваленция – это логическая операция,  ставящая  в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

        Таблица истинности эквиваленции

         Логические операции имеют следующий приоритет: действия в скобках, инверсия , &, Ú , Þ , Û .

        Пример 3.2. Определите истинность простых высказываний:

А = {Принтер – устройство вывода информации},

В = {Процессор – устройство хранения информации},

С = {Монитор – устройство вывода информации},

D = {Клавиатура – устройство обработки информации}.

        Определите истинность составного высказывания: ( & ) & (CÚ D).

        На основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний:   А = 1, В = 0, С = 1, D = 0.

        Определим сначала истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:

( & ) & (1 Ú0) = (0&1) & (1 Ú0) = (0&1) & (1 Ú0) = 0&1 = 0

 

        Пример 3.3. Даны три числа в различных системах счисления: А = 20₁₀, В = 11₁₆, С = 30₈. Переведите А, В и С в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции (А ÚВ)&С. Ответ дайте в десятичной системе счисления.

 

        Пример 3.4. Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно логическое выражение  ((A Ú В) & В) Þ С.

        Импликация ложна на единственном наборе (1 0).  Значит, С = 0, ((A Ú В) & В) = 1.

        Конъюнкция истинна на единственном наборе (1 1).  Значит, В = 1 и (A Ú В) = 1.

        Дизъюнкции истинна при наборах  (1  0) и (1 1).

        Следовательно, существуют два набора, удовлетворяющих условию задачи:  (А = 0, В = 1, С = 0) и (А = 1, В = 1, С = 0).  

Задания для самостоятельного выполнения

3.9. Среди следующих высказываний укажите составные; выделите в них простые, обозначив каждое их них буквой; запишите с помощью  логических операций каждое составное высказывание.

1)      Число 376 четное и трехзначное.

2)      Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

3)      Земля имеет форму шара.

4)      На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу.

5)      Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3.

6)      Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.

3.10. Ниже приведена таблица, левая колонка которой содержит основные логические союзы  (связки),  с  помощью  которых  в естественном языке строятся сложные высказывания.  Заполните правую колонку таблицы соответствующими названиями логических операций.

 

3.11. Постройте отрицания следующих высказываний:

1)      Число 1 есть составное число.

2)      Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, являются простыми числами.

3)      Неверно, что число 3 не является делителем числа  198.

4)      Неверно, что любое число, оканчивающееся цифрой 4, делится на 4.

5)      Некоторые млекопитающие не живут на суше.  

3.12. Из каждых трех выберите пару высказываний, являющихся отрицаниями друг друга:

1)      “1999 < 2000”, “1999 > 2000”,“1999 <= 2000”;

2)      “Луна — спутник Земли”, “Неверно, что Луна спутник Земли”, “Неверно, что Луна не является спутником Земли”;

3)      “Прямая а не параллельна прямой с”, “Прямая а перпендикулярна прямой с”, “Прямые а и с не пересекаются” (считаем, что прямые а и с лежат в одной плоскости);

4)      “Мишень поражена первым выстрелом”, “Мишень поражена не первым выстрелом”, “Неверно, что мишень поражена не первым выстрелом”.

    

3.13. Найдите значения логических выражений:

    а) (1Ú1)Ú(1Ú0);

    б) ((1Ú0)Ú1)Ú1;

    в) (0Ú1)Ú(1Ú0);

    г) (0&1)&1;

    д) 1&(1&1)&1;

    е) ((1Ú0)&(1&1))&(0Ú1);

    ж) ((1&0)Ú(1&0))Ú1;

    з) ((1&1)Ú0)&(0Ú1);

    и) ((0&0)Ú0)&(1Ú1).  

3.14. Даны два высказывания:

А = {2 ´ 2 = 4}, В = {2 ´ 2 = 5}.

Очевидно, что А = 1, В = 0.

Какие из высказываний истинны?

а);         б) ;

в) А & В;   г) A Ú В;

д) А Þ В;   е) А Û В.  

3.15. При каких значениях числа X логическое выражение не ((X > 8) или (X < -3)) примет значение:

а) ложь;

б) истина.

 

3.16. Какое логическое выражение описывает условие: "Точка Х не принадлежит отрезку [A; B]"?

а) не (Х  ³ A) или Х < B;

б) Х < A и Х > B;

в) не (X£B и X³A);

г) X£A или X³B.

 

3.17.         Изобразите в декартовой прямоугольной системе координат область, в которой и только в которой истинны следующие выражения:

    a) (Y ³ X) и (Y + X ³ 0) и (Y £ 1);

    б) (|X| £ 1) и (|Y| £ 1).  

 

3.18.         Определите истинность простых высказываний:

А = {Принтер – устройство ввода информации},

В = {Процессор – устройство обработки информации},

С = {Монитор – устройство хранения информации},

D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.

Определите истинность составных высказываний:

а) (А&В) & (C Ú D);  б) (А&В) Þ (C Ú D);   

в) (А Ú В) Û (C & D);   г) Û .  

3.19.         Даны простые высказывания:

А = {5>3}, В = {2=3} и С = {4<2}.

Определите истинность составных высказываний:

а) (A Ú B)&C Þ (A&C) Ú (B&C);

б) (A&B) Ú C Û (A Ú C)&(A & B).

3.20.         Логическое отрицание восьмиразрядного двоичного числа, записанное в десятичной системе счисления, равно 172. Определите исходное число в десятичной системе счисления.

3.21.         Определите логическое произведение и логическую сумму всех двоичных чисел в диапазоне от 12₁₀ до 19₁₀ включая границы. Ответ запишите в восьмеричной системе счисления.

3.22.         Какие из высказываний А, В должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно выражение (А&В) Û 1.

3.4. Логические выражения и таблицы истинности

        Таблицу, показывающую,  какие значения принимает составное высказывание при  всех сочетаниях (наборах)  значений  входящих в него простых высказываний,  называют таблицей истинности составного высказывания.

        Составные высказывания в алгебре логики записываются с помощью логических выражений. Для любого логического выражения достаточно просто построить таблицу истинности.

        Алгоритм построения  таблицы  истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице m = 2ⁿ;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов в таблице:  число переменных  плюс  число операций;

6. выписать наборы входных переменных  с  учетом  того,  что  они представляют собой  натуральный ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2ⁿ—1;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбикам,  выполняя логические операции в соответствии с установленной  в  п.4  последовательностью.

 

        Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуют перечислять следующим образом:

а) определить количество наборов входных переменных;

б) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки 0, а нижнюю —1;

в) разделить колонку  значений  второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами 0 или 1, начиная с группы 0;

г) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами 0 или 1 до тех пор, пока группы 0 и 1 не будут состоять из одного символа.

        Пример 3.5. Для формулы  A&(B Ú & ) построить  таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.

        Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 2³ = 8.

        Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.

 

 

Задания для самостоятельного выполнения

3.23. Построить таблицы истинности для следующих формул:

             а) A Ú (B Ú Þ )

             б) A & (B & Þ )

             в) A Ú (B Ú ) & A Ú (B Þ )

3.24. Дано составное высказывание не (не А и B), где A и B — простые высказывания. В каком случае данное высказывание будет ложным?

3.25. Выбрать составное высказывание, имеющее ту же таблицу истинности, что и не (не A и не(B и C)).

1) A и B или C и A;

2) (A или B) и (A или C);

3) A и (B или C);

4) A или (не B или не C);

5) (A или B) и (A или C).

 

3.26. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих высказываний:

а) (А Þ В) & (А Ú );

б) (А Û В) & (А&В) Ú ( & ).